Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Диагностика уровня развития познавательного интереса младших школьников к математике
Эксперимент по выявлению эффективности методики организации внеклассной работы по математике и ее воздействия на познавательный интерес учащихся был начат в 1 «а» классе 2005 – 2006 года на базе средней общеобразовательной школы №75 г. Новосибирска и был продолжен во 2 «а» классе 2006 – 2007г. Во 2 ...

Диагностика наличия основных показателей к переходу в среднюю школу у воспитанников учреждения интернатного типа
В исследовании принимали участие дети младшего школьного возраста детского дома-лицея им. Х.М. Совмена (8 человек). В этом детском доме дети живут в группах по 8 человек, и мы работали с детьми одной группой. Мы выделили следующие критерии готовности к переходу в среднюю школу: наличие учебно-позна ...

Дошкольные образовательные учреждения в Японии
В Японии детский сад не является обязательной образовательной ступенью. Дети поступают сюда по желанию родителей - обычно с четырехлетнего возраста. Иногда, как исключение, при сильной занятости родителей ребенка могут взять в садик с трех лет. Есть в Японии и ясли для малышей, которым еще только г ...

Категории

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru