Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Комплексный подход по преодолению дизартрии
Комплексный подход при устранении дизартрии включает в себя три блока: · Первый блок – медицинский; · Второй блок – психолого-педагогический; · Третий блок – логопедическая работа. Первый блок определяет врач-невропатолог. Он назначает медикаментозное лечение, лечебную физкультуру, массаж, физиотер ...

Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы
При изучении величин углов можно использовать следующую схему: Общий обзор углов – углы с общей вершиной – градусное измерение углов. В учебной методческой литературе угол определяется по разному: Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки. Угол есть неопределенная часть ...

Педагогические технологии в системе дистанционного образования
1.Проблема организации учебного процесса в дистанционной форме чрезвычайно актуальна. Ее актуальность обусловлена несколькими причинами. Прежде всего, упорным нежеланием подавляющего большинства организаторов обучения в дистанционной форме признать тот факт, что речь должна идти не только об исполь ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru