Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Проектирование содержания воспитания социальной активности детей в учреждении дополнительного образования
Наше исследование может быть отнесено к категории опытно-экспериментальных, поскольку проверка эффективности педагогических средств воспитания социальной активности детей в УДО осуществлялась в практике муниципального учреждения дополнительного образования детей «Центр эстетического воспитания дете ...

Типология семьи. Семейные отношения
Из существующего множества типологий семьи (психологические, педагогические, социологические) задачам деятельности социального педагога и социального работника отвечает следующая комплексная типология, которая предусматривает выделение четырех категорий семей, различающихся по уровню социальной ада ...

Предпрофильная подготовка учащихся основной школы
Переход на профильное обучение в старшей школе является институциональной трансформацией для системы общего образования в целом, фактически для каждой городской или районной образовательной сети. От правильного выбора профиля во многом будет зависеть дальнейшая судьба старшеклассников, в частности ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru