Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Образование в Японии
Курс школьного обучения в Японии занимает 12 лет, и половина его приходится на начальную школу из-за исключительной сложности и трудоемкости изучения родного языка. Ученики должны усвоить 1850 иероглифов - минимум, установленный министерством просвещения (но даже для чтения книг и газет требуется з ...

Разработка и апробация серии занятий по формированию исследовательских умений у младших школьников на уроках окружающего мира
В 3-ем классе проводился специальный цикл занятий, представленный в пункте 1.3., на которых учащиеся овладевали знаниями и представлениями по исследовательской деятельности, выполняли задания, направленные на формирование исследовательских умений (см. приложение 2). Проводя урок по окружающему миру ...

Целостность процедуры аккредитации образовательного учреждения
Аккредитация образовательного учреждения – это процедура признания государством в лице его государственных органов управления образованием государственного статуса образовательного учреждения (типа, вида, категории образовательного учреждения, определяемых в соответствии с уровнем и направленностью ...

Категории

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru