Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Оценка показателей физического развития девушек старших классов
Анализ реального состояния образовательного процесса по физическому воспитанию школьниц 10-11 классов г. Кызыл-Кия дает основание полагать, что его эффективность далека от желаемой. В этой связи деятельность учителей по физическому воспитанию в старших классах должна быть направлена на выполнение у ...

Потребление телевизионной информации как коммуникация и социальное взаимодействие
Рост общественного производства параллельно с гуманизацией системы распределения привели к возникновению общества потребления, где сама идентичность человека всё больше связывается с потребительскими практиками. Потребление все больше теряет свой чисто утилитарный характер и превращается в процесс ...

Требования к объектам труда при металлообработке
При изучении раздела "Обработка металла" мы рекомендуем применять словесные, наглядные, практические методы обучения. Словесные методы обучения: Устное изложение (объяснение, рассказ, лекция). Беседа. Самостоятельная работа учащихся с литературой. Телевидение, звукозапись. Наглядные метод ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru