Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

О проблемы воспитания милосердия у детей
Такая проблема, как воспитание милосердия у детей, волнует людей на протяжении уже многих веков. Как представители святоотеческой мысли, так и светские мыслители считали необходим воспитывать эту добродетель, но если святоотеческая мысль не придумывала систематических приемом и методов для разрешен ...

Методика проведения дыхательной гимнастики по Стрельниковой А.Н. с детьми дошкольного возраста
Дыхательной гимнастикой по Стрельниковой А.Н. можно заниматься как индивидуально, так и с группой детей, причем в разное время дня и в любом месте. В детском саду можно использовать время разных режимных моментов исключая 20 минут до еды и 1 час после еды[30]. На прогулке дыхательная гимнастика про ...

Методика совершенствования работы по экологическому воспитанию дошкольников 4-5 лет в процессе использования игровых обучающих ситуаций
На следующем этапе нашего исследования мы приступили к разработке методики по совершенствованию у детей экологических знаний. Цельюформирующего эксперимента явилась разработка и апробация методики экологического воспитания в процессе использования игровых обучающих ситуаций. Задачиформирующего эксп ...

Категории

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru