Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Классификация методов обучения по источнику получения знаний
Существует три источника знаний: слово, наглядность, практика. Соответственно выделяют словесные методы (источником знания является устное или печатное слово); наглядные методы (источниками знания являются наблюдаемые предметы, явления, наглядные пособия); практические методы (знания и умения форми ...

Интерьер кабинета иностранного языка
Проводимые в последние годы проверки образовательных учреждений выявили отсутствие единой системы оформления и оборудования школьных кабинетов, в том числе и кабинетов иностранных языков. Обычно подходя к кабинету иностранного языка в любой школе и в любом городе можно заранее предположить, как он ...

Организация и методы исследования: педагогические, функциональные, психологические, статистические
Степень тяжести заболевания больных варьирована от легкой до тяжелой. В работе использованы педагогические, функциональные, психологические, статистические методы. Педагогическое наблюдение проводилось с целью определения двигательных возможностей больного и его зависимости от вспомогательных средс ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru