Основные операции над векторами

Страница 6

Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор можно представить в виде .

Пусть А и В-начало и конец вектора (см. рисунок 10). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам и . Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: . Так как векторы и коллинеарны, то . Так как векторы и коллинеарны, то . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и , а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 11. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы и . Найти длину вектора , если известно, что =4, =3, а угол между векторами и равен 60°.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Влияние объектов труда на развитие учащихся
Выбор объектов труда — один из важнейших этапов в его организации. Сложность его связана со многими факторами: возраст учащихся, материальная база для изготовления выбираемых объектов, технология изготовления изделий, их практическое использование и многое другое. В связи с этим при выборе объектов ...

Нетрадиционные формы оздоровления дошкольника
Очень часто родители обращаются с просьбой оказать помощь их робким, стеснительным детям, которые при поступлении в школу остро ощущать неуверенность в себе и нуждаются в поддержке. Перед нами стоит важная задача – помочь дошкольникам до поступления в школу преодолеть в себе застенчивость, робость, ...

Деятельность социального педагога по формированию здорового образа жизни подростков
В настоящее время в стране происходят резкие изменения в экономической, политической и социальной жизни. Эти изменения привели к появлению новых социальных проблем, которые в первую очередь сказались на воспитании, развитии, социальном формировании подростков и молодежи. В связи с этим возникла ост ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru