Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и
. Вычислим их координаты
,
. Координаты векторов одинаковы, поэтому
. Из равенства векторов следует, что
и
, т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он – параллелограмм.
Задача 2. Даны три точки: А (1; 1), В (-1; 0), С (0; 1). Найдите такую точку D (x; у), чтобы векторы и
были равны.
Решение. Вектор имеет координаты –2, -1. Вектор
имеет координаты х-0, у-1. Так как
=
, то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.
Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 1), В (3; 4), С (8; 5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей – середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:
;
.
Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D:
;
.
Отсюда х=6, у=2, т.е. D (6; 2).
Сложение и вычитание векторов
Суммой векторов и
с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор
с координатами а1+b1, a2+b2, т.е.
.
Для любых векторов ,
,
имеют место следующие свойства:
1) (переместительный закон);
2) (распределительный закон);
3) .
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.
Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство .
Доказательство. Пусть ,
,
– данные точки (см. рисунок 5). Вектор
имеет координаты
,
, вектор
имеет координаты
,
. Следовательно, вектор
имеет координаты
,
. А это есть координаты вектора
. Значит, векторы
и
равны. Теорема доказана.
Доказанная теорема дает возможность следующего графического построения суммы произвольных векторов и
. Надо от конца вектора
отложить вектор
равный вектору
. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора
, а конец – с концом вектора
, будет суммой векторов
и
(см. рисунок 6). Такой способ называется «правилом треугольника» сложения векторов.
Полезная информация:
Анализ сервисных услуг Центра Развития Ребенка «ЛИМПИК»
Частное образовательное учреждение Дошкольного и начального общего образования «Умный Мир» представляет свои услуги для населения в Центрах Развития Ребенка «Лимпик». Основные направления деятельности ЦРР «Лимпик»: Направление Вид Что представляет Спорт-Лимпик Секции Атлетизм; Восточные танцы; Дзюд ...
Характеристика процессов памяти
Память – сложная психическая деятельность. В её составе можно выделить отдельные процессы: запоминание (закрепление), сохранение, забывание, а также воспроизведение (актуализацию, возобновление) и узнавание материала. Хотя при сопоставлении процессов памяти бросается в глаза, казалось бы, противопо ...
Анализ опыта воспитания социальной активности в учреждениях дополнительного
образования детей
В ходе исследования рассмотрено около сорока публикаций, освещающих, опыт организации воспитания в учреждениях дополнительного образования. Среди них были обобщения и авторские описания опыта, а также методические рекомендации организаторам воспитательной работы в условиях дополнительного образован ...