Основные операции над векторами

Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и . Вычислим их координаты , . Координаты векторов одинаковы, поэтому . Из равенства векторов следует, что и , т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он – параллелограмм.

Задача 2. Даны три точки: А (1; 1), В (-1; 0), С (0; 1). Найдите такую точку D (x; у), чтобы векторы и были равны.

Решение. Вектор имеет координаты –2, -1. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как =, то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.

Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 1), В (3; 4), С (8; 5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей.

Решение. Точка пересечения диагоналей – середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:

; .

Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D:

; .

Отсюда х=6, у=2, т.е. D (6; 2).

Сложение и вычитание векторов

Суммой векторов и с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор с координатами а1+b1, a2+b2, т.е.

.

Для любых векторов , , имеют место следующие свойства:

1) (переместительный закон);

2) (распределительный закон);

3) .

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.

Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство .

Доказательство. Пусть , , – данные точки (см. рисунок 5). Вектор имеет координаты , , вектор имеет координаты , . Следовательно, вектор имеет координаты , . А это есть координаты вектора . Значит, векторы и равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема дает возможность следующего графического построения суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , будет суммой векторов и (см. рисунок 6). Такой способ называется «правилом треугольника» сложения векторов.