Основные операции над векторами

В различной литературе понятие вектор вводится по-разному. Так в учебнике Погорелова А.В. дается следующее определение:

«Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 1). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой.»

В пособие Герасимовича А.И. можно увидеть другой подход во введении этого понятия:

«Величина, которая определяется числовым значением и направлением, называется вектором. Примерами векторов являются сила, скорость, момент силы и др. Геометрической интерпретацией векторов служат направленные отрезки.»

Для обозначения векторов обычно используются строчные латинские буквы: а, b, с и т.д. Кроме этого, обозначить вектор можно указанием его начала и конца (причем, начало вектора указывается первым). Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора обычно ставят стрелку или черту. Изображенный на рисунке 1 вектор можно обозначить как: , или , . «Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.» Абсолютную величину вектора иногда называют, также, длиной вектора и обозначают: или .

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют нулевым вектором. Такой вектор обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю и он не имеет определенного направления.

Коллинеарные векторы

«Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.»

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Можно по-разному разъяснить эти понятия:

1) Расположим два коллинеарных вектора таким образом, чтобы их начала лежали на одной прямой. Если они оба лежат в одной полуплоскости относительно прямой, то векторы одинаково направлены. Если они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то векторы противоположно направлены.

2) Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы и называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

3) Если два вектора лежат на одной прямой, они одинаково направлены в том случае, если их направления совпадают с направлением одной из полупрямых данной прямой, и противоположно направлены, если их направления не совпадают с направлением одной полупрямой.

На рисунке 2 векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены. Одинаково направленные векторы принято обозначать ­­, противоположно направленные – ­¯.

Равенство векторов

«Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.» Такое определение дается в пособии Герасимовича А.И.

В учебнике Погорелова А.В. определение дается через понятие параллельного переноса: «Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора, соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.»

Рассмотрим наглядно. На рисунке 3 изображены векторы и одинаково направленные и равные по модулю. При параллельном переносе точка С переходит в точку А, совмещая, таким образом, полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены (а соответственно и коллинеарны). Так как векторы равны, то при осуществляемом нами параллельном переносе точка D совмещается с точкой В, а следовательно вектор переходит . Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать.