Основные операции над векторами

Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , . Следовательно, .

Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А (1; 6), В (1; 1), С (4; 1).

Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и , , найдем .

Вычислим координаты векторов и : , , ; .

Затем вычислим координаты векторов и : (0; 5), (3; 0), . Следовательно, ^, и .

Задача 3. В точках М1(х1; у1), М2(х2; у2) сосредоточены массы, соответственно равные m1 и m2. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М1М2 и удален от точек М1 и М2 на расстояние, обратно пропорциональные массам m1 и m2, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М1М2 в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; и подставляя в них значение , после преобразований находим координаты точки С:

; .

Задача 4. Пусть О – центр описанной окружности треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что . Докажите, что Н – точка пересечения высот треугольника АВС.

Решение. Докажем что .

и , поэтому , так как О – центр описанной окружности. Аналогично доказывается, что и .

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Обычно их обозначают следующим образом на оси х и на оси у (см. рисунок 12).

Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам:

. (*)

Найдем коэффициенты и этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор . Так как

, , , то .