Основные операции над векторами

Страница 8

Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор получим .

Таким образом, для любого вектора получается разложение

.

Задача 1. Найти координаты единичного вектора, одинаково направленного с вектором (3; 4).

Решение. Длина вектора равна . Длина единичного вектора , направленного одинаково с вектором , равна единице.

Чтобы вычислить координаты вектора , разделим обе части предыдущего равенства на :

.

Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором , равны .

6. Примеры задач, решаемых с помощью векторов

Задача №1.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середин диагоналей произвольного четырехугольника, имеют общую середину.

ABCD – данный четырехугольник.

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA.

P, Q – середины диагоналей AC, BD.

S1, S2, S3 – середины отрезков KM, LN, PQ.

По правилу параллелограмма, если K – середина AB, то для любой точки O будет

. Аналогично, .

Тогда . Аналогично .

Таким образом, S1 = S2 = S3 = S – общая середина отрезков KM, LN, PQ.

Задача №2.

Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через точку A параллельно BC, пересекает BD в точке M, а прямая, проходящая через точку B параллельно AD, пересекает AC в точке N. Доказать, что MN параллельна CD.

Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда rBOC подобен rMOA с коэффициентом подобия α, следовательно, и . Далее, rDOA подобен rBON с коэффициентом подобия β, следовательно, и . Теперь

Таким образом, CD ║MN.

Задача №3.

Дан пятиугольник ABCDE. Середины сторон AB и CD, а также BC и DE соединены отрезками. Середины H и P полученных отрезков снова соединены. Доказать, что HP ║AE и .

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE.

H, P – середины отрезков KM и LN.

Рассуждая так же, как и в Задаче №1, получим, что для любой точки O будет и . Отсюда , и значит HP ║AE и .

Задача №4.

Доказать, что в трапеции прямая, соединяющая точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон делит основания трапеции пополам.

ABCD – трапеция AD ║BC. M, N – середины оснований AD и BC, , .

rBPC подобен rAPD с коэффициентом подобия α, следовательно, и . Тогда , а значит, точка P лежит на прямой MN.

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Содержание работы социального педагога в образовательном учреждении
Содержание работы социального педагога в соответствии с квалификационной характеристикой определяется ее педагогической направленностью. Это означает, что вся его профессиональная деятельность по сути представляет собой комплекс мероприятий по воспитанию, образованию, развитию и социальной защите л ...

Виды и наименования высших учебных заведений
1. В Российской Федерации устанавливаются следующие виды высших учебных заведений: университет, академия, институт. 2. Университет – высшее учебное заведение, которое: реализует образовательные программы высшего и послевузовского профессионального образования по широкому спектру направлений подгото ...

Развитие коммуникативной функции речи
Известны два основных вида речи — диалогическая и монологическая. Каждый из них имеет свои особенности. Так, форма протекания диалогической речи (беседа двух или нескольких человек, постановка вопросов и ответы на них) побуждает к неполным, односложным ответам. Неполное предложение, восклицание, ме ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru