Основные операции над векторами

Страница 8

Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор получим .

Таким образом, для любого вектора получается разложение

.

Задача 1. Найти координаты единичного вектора, одинаково направленного с вектором (3; 4).

Решение. Длина вектора равна . Длина единичного вектора , направленного одинаково с вектором , равна единице.

Чтобы вычислить координаты вектора , разделим обе части предыдущего равенства на :

.

Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором , равны .

6. Примеры задач, решаемых с помощью векторов

Задача №1.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середин диагоналей произвольного четырехугольника, имеют общую середину.

ABCD – данный четырехугольник.

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DA.

P, Q – середины диагоналей AC, BD.

S1, S2, S3 – середины отрезков KM, LN, PQ.

По правилу параллелограмма, если K – середина AB, то для любой точки O будет

. Аналогично, .

Тогда . Аналогично .

Таким образом, S1 = S2 = S3 = S – общая середина отрезков KM, LN, PQ.

Задача №2.

Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через точку A параллельно BC, пересекает BD в точке M, а прямая, проходящая через точку B параллельно AD, пересекает AC в точке N. Доказать, что MN параллельна CD.

Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда rBOC подобен rMOA с коэффициентом подобия α, следовательно, и . Далее, rDOA подобен rBON с коэффициентом подобия β, следовательно, и . Теперь

Таким образом, CD ║MN.

Задача №3.

Дан пятиугольник ABCDE. Середины сторон AB и CD, а также BC и DE соединены отрезками. Середины H и P полученных отрезков снова соединены. Доказать, что HP ║AE и .

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE.

H, P – середины отрезков KM и LN.

Рассуждая так же, как и в Задаче №1, получим, что для любой точки O будет и . Отсюда , и значит HP ║AE и .

Задача №4.

Доказать, что в трапеции прямая, соединяющая точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон делит основания трапеции пополам.

ABCD – трапеция AD ║BC. M, N – середины оснований AD и BC, , .

rBPC подобен rAPD с коэффициентом подобия α, следовательно, и . Тогда , а значит, точка P лежит на прямой MN.

Страницы: 3 4 5 6 7 8 9 10

Полезная информация:

Рекомендации по технологии обучения младших школьников написанию сочинения
Результатом проделанной работы могут стать различного вида рекомендации по написанию сочинений как способа развития творческого воображения младших школьников. Интересен прием под названием «Обучение детей вариативности в раскрытии темы сочинения». Исследование методической литературы позволяет обо ...

Философско – педагогические идеи В.А. Сухомлинского и их развитие во второй половине XX столетия
В 50 – 60 гг., страна, пережив ужасы Великой Отечественной войны, постепенно возвращалась к мирной жизни, одной из проблем которой стала школа, поиски оснований новых педагогических устремлений. По сравнению с предыдущим периодом для этого времени характерен возврат к традициям русской педагогики, ...

Формирование привычек ЗОЖ на уроках физической культуры
Культура здорового образа жизни (ЗОЖ) человека есть один из результатов социализации личности в общественной среде. Чем выше приоритет здоровья в обществе, тем выше культура здорового образа жизни каждого его члена. Из данного вывода вытекают, по крайней мере, два краеугольных положения: 1) если со ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru