О роли и месте величин, их измерений в процессе обучения

4)существует единица измерения (отрезок длиной 1, квадрат площадью 1, куб объема 1, угол, величина которого 1).

II. С точки зрения теории множеств, все геометрические величины являются примерами одного из основных определяемых аксиоматически общематематических понятий - меры множества. Пусть дано некоторое семейство множеств А, В, С, …, являющихся подмножествами некоторого универсального множества У. Говорят, что на этом семействе множеств определена мера, если каждому из них поставлено в соответствие некоторое действительное число m(A), удовлетворяющее аксиомам:

1)m(A)≥0, m(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - пустое множество;

2)среди данных множеств существует такое множество Е, что m(E) = 1;

3)равные множества имеют равные меры: (А=В) следует, что (m(A) = m(B));

4)мера двух непересекающихся множеств А и В равна сумме мер данных множеств m(A)+m(B);

5)если m(A) = m(B), а m(В) = m(С), то m(A) = m(С).

Легко проверить конкретный смысл этого определения для понятий длины отрезка, величины угла, площади фигуры, объема тела.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека. Роль и значение измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин.

Существует два основных способа измерения геометрических величин:

непосредственное;

косвенное.

Непосредственное измерение - сравнение данной величины с выбранной единицей измерения - основано на 1-й и 2-й аксиомах меры , соответствует первоначальному наглядному представлению, например, о длине отрезка как числе, показывающему, сколько раз единица длины или ее часть укладывается (содержится) в этом отрезке, и состоит в выполнении следующих шагов:

1.Выбрать единицу измерения (это можно сделать на основе 2-й аксиомы).

2.Сравнить данное множество с единицей измерения; число (на основе 1-й аксиомы), показывающее, сколько раз единица измерения содержится в данном множестве, есть его мера (длина отрезка, величина угла, площадь фигуры, объем тела).

Таким образом, в результате измерения величины находят некоторое число х которое называют числовым значением данной величины а при единице измерения е:

а = х · е, где х - число. Следовательно, величина задается с помощью чисел и единиц измерения. Например, 7 кг = 7·1кг, 12 см =12·1 см, 15ч =15·1ч.

Кроме того, определив умножение величин можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

3.Можно убедиться, что полученное таким образом число удовлетворяет аксиомам 3-5 и дает возможность выполнять сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление на число измеряемых множеств и их мер.

Говоря о геометрических величинах, следует четко различать саму геометрическую фигуру, величину, и числовое значение этой величины. Например:

Отличие длины отрезка от числового значения длины в том, что первое остается неизменным, а второе зависит от выбранной единицы измерения.

Для практической реализации непосредственного измерения единица измерения наносится на материальные носители и получаются измерительные приборы: масштабная линейка, транспортир, палетка и др.

Заметим, что способ непосредственного измерения не всегда удобен (например, для измерения площади палеткой) и даже не всегда осуществим (например, для измерения объема). Поэтому используют косвенное измерение геометрических величин, которое состоит в том, что непосредственно измеряются только величины тех элементов геометрических фигур - отрезков, углов, для которых это сделать легко и практически удобно, а площадь и объем затем вычисляются на основе аксиом меры с помощью специально установленной зависимости между всеми геометрическими величинами данной фигуры.