Психологические особенности усвоения дробей

Чтобы преодолеть указанные трудности, при обучении учащихся арифметическим действиям, в том числе и действиям с дробями, важно последовательно формировать процесс получения результата-то есть, устанавливать ассоциации по смежности.

Например, получив задание разделить 3 полоски на 4 равные части, ученик сначала рассуждает так: «В одной полоске , в трех полосках их всего , 12 разделить на 4 будет 3, значит ». Затем прибегает к более короткому пути рассуждения: «Делил на 4 – это был знаменатель, и было 3 полоски, всего будет ». И, наконец, рассуждение сокращается до одного звена: «3 на 4 нацело не делится, будет ».

Так постепенно происходит сокращение промежуточных звеньев процесса, между условием примера и ответом образуется прямая связь. Но даже, когда рассуждение выключено полностью, оно продолжает лежать в основе выполнения операции. К сожалению, в школьной практике нередко имеют место такие случаи, когда арифметическая операция с самого начала строится по типу простейшей ассоциативной связи, промежуточное звено – рассуждение – вообще отсутствует. И если учащийся выполняет действия механически, не понимая того, что он делает и зачем не происходит и его научения. Типичным результатом является неумение школьников решать задачи на нахождение части целого и неизвестного целого по его части.

Указанные трудности говорят о том, что учащиеся не осознают нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию, они в равной мере не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по его дроби и деление. Различные термины скрывают от них единство содержания понятий, обозначаемых этими терминами. Это происходит всегда, если и умножение дробей и решение задач на нахождение части целого вводится только с помощью алгоритма. Учащиеся не проходят все ступени по формированию ассоциаций, поскольку знают четкий алгоритм, следовательно, не могут сопоставить и обобщить эти две операции.

Еще одно распространенное затруднение в изучении дробей это умножение и деление. «Ученику приходится делать весьма значительные усилия мысли, чтобы постигнуть, что умножение называется иногда делением; что не всегда от умножения число увеличивается; что умножить число – это не всегда значит «взять его слагаемым несколько раз»», – писал методист С.И. Шохор-Троцкий. Позже Н.А. Менчинская высказывает мнение о том, что никак нельзя считать правильным то положение, когда у детей при изучении целых чисел формируются представления об умножении как об увеличении, а о делении как об уменьшении. В дальнейшем это приводит к неверному переносу ассоциаций в область дробей. При этом Н.А. Менчинская указывает, что при изучении целых чисел учитель должен придавать особое значение случаям умножения и деления на 0 и 1, которые не приводят к привычному и ожидаемому увеличению и уменьшению числа. При выполнении этих операций всегда полезно задать вопрос: «Как изменилось число?»

Еще одна проблема – это отождествление операций нахождения наибольшего общего делителя и сокращения дробей, а также наименьшего общего кратного и приведения дробей к общему знаменателю. Исследованием причин, по которым учащиеся не различают операции нахождения НОД и НОК, занималась З.М. Мехтизаде, которая обратила внимание на то, что «при овладении этими двумя схожими операциями, учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые являются общими для этих двух операций, и с большим трудом в той части, где требуется применение различных дифференцированных друг от друга способов действия. Если в одном случае, в общих звеньях этих операций, актуализируются или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т.е. в различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций. Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся». Ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил, основаны на «правилосообразных» связях. В данном случае путаница происходит еще и по причине схожести названия операций, редко когда внимание учащихся верным образом акцентируется на последнем слове, чаще эти аббревиатуры воспринимаются абракадаброй. Важным моментом является своевременное сравнение таких правил, построение системы упражнений, постепенно отражающей сходство и различие операций. Н.А. Менчинская предлагает использовать принцип варьирования существенных признаков для составления систем упражнений при изучении материала. То есть задания должны изменяться не столько по уровню сложности, сколько по их положению во всем учебном материале. Наличие контрпримеров при построении системы упражнений обязательно.