Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Методика изучения фонематических процессов
Обследование состояния функций фонематического слуха Опознавание фонем. Задание 1: «Подними руку, если услышишь гласный звук [о] среди других гласных» Отмечается: умение выделять на слух гласный звук среди набора других гласных звуков. Задание 2: «Подними руку, если услышишь согласный звук [к] сред ...

Коррекционная роль трудового воспитания в условиях специальной школы
Психологически и практически школа призвана готовить подрастающее поколение к сознательному и активному труду на пользу обществу. Поэтому наряду с эстетическим, правовым, социальным в школах активно осуществляется трудовое воспитание учащихся, которое в широком понимании способствует формированию м ...

Модернизация образования и современное школьное обществоведение
На пороге третьего тысячелетия система образования России претерпевает кардинальные изменения, которые касаются не только структуры ее организации, методологии и технологии построения образовательных процессов во всех звеньях этой системы, но главным образом, в переопределении целей образования, ег ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru