Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Опыт учителей по развитию самоконтроля в учебной деятельности младших школьников
А. «Разноцветные поправки» Для инициации у школьников потребности в СК, осознания его роли в течение всего периода обучения мы использовали приемы «по собственной инициативе» и «разноцветные поправки» (А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов). Суть последней состоит в том, что учащимся после выполнени ...

Критическое мышление. Тренинг для учащихся
Развитие навыков критического мышления, наряду с основами компьютерных технологий и способностью к совместной деятельности, является ключевой целью в развитии выпускника школы. Критическое мышление включает умение решать проблемы. Таксономия уровней познания Блума представляет собой модель, включаю ...

Оборудование для лепки
К оборудованию для лепки относятся каркасы. В работе с дошкольниками это обыкновенные палочки разной длины и толщины. Использование каркаса помогает совершеннее изображать ноги животных, делать фигуры, выполненные на каркасах, часто делают трещины, поэтому, как только работа подсохнет, каркас лучше ...

Категории

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru