Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

История происхождения и распространения деловых обучающих игр
Возникновение деловых игр, которые произошли из военных. Сами военные игры в качестве прототипа имели шахматы. В 1664 году была проведена так называемая королевская игра, отличающаяся от шахмат большой реалистичностью. В 1780 г. "военные шахматы" начали использоваться в подготовке офицеро ...

Материалы к электронному пособию для учителя
Далее рассмотрим планы к урокам по теме векторы. Также в них будут представлены слайды по теме и приведены примерные задания к урокам. Интегрирующие цели: Знать определение вектора, определения коллинеарных, сонаправленных и противоположно направленных векторов, равных векторов, определение и свойс ...

Динамика мотивов при усвоении нравственных норм
Нравственность конкретного человека есть освоенная, внутренне принятая общественная мораль, регулирующая его индивидуальное поведение, опирающаяся на мировоззренческие убеждения и чувство совести. Важнейшим компонентом нравственного сознания и поведения являются нравственная потребность, воля, жела ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru