Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Рекомендации социальному педагогу по организации профессионального самоопределения старшеклассников общеобразовательной школы
Социальный педагог при работе с учениками должен учитывать их возрастные особенности. Социальному педагогу необходимо выделять и разграничивать два уровня работы по профессиональному самоопределению учащихся: деятельность в 9 и 11 классе. Социальный педагог должен как можно больше взаимодействовать ...

Жизненный и педагогический путь Ж.-Ж. Руссо
Выдающийся представитель эпохи Просвещения, философ и писатель, Жан-Жак Руссо (1712-1778) был одним из величайших педагогов всех времен и народов. Жан Жак Руссо родился в 1712 г. в Женеве (Швейцария) в семье французов. Его предками были крестьяне и ремесленники, а отец - часовых дел мастером. Он ра ...

Качества, важные для успешного предпринимателя
Тема «Предпринимательство» изучается в курсе « Экономика» в 10-м классе. В 6-м и 8-м классах при изучении темы «Факторы производства» предпринимательству, как одному из факторов, следует также уделить внимание, особенно предпринимательским качествам. Так как на проведение отдельного урока по теме « ...

Категории

Copyright © 2023 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru