Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Оценка результативности проведенной индивидуальной работы
С целью выявления эффективности работы по составленному нами плану по развитию индивидуальных особенностей памяти проведена контрольная диагностика со всеми учащимися класса. Учащимся было предложено выполнение тестов, которые сходны по цели и методике проведения с теми, что проводились в ходе перв ...

Содержание работы социального педагога в образовательном учреждении
Содержание работы социального педагога в соответствии с квалификационной характеристикой определяется ее педагогической направленностью. Это означает, что вся его профессиональная деятельность по сути представляет собой комплекс мероприятий по воспитанию, образованию, развитию и социальной защите л ...

Детская периодика и критика на современном этапе
В настоящее время наблюдается возрождение детской литературы после периода рыночных реформ. Издатели новых журналов имеют перед собой прекрасный пример для подражания в лице громадного массива русских изданий конца восемнадцатого – начала двадцатого века. Сейчас в нашей стране детская печать являет ...

Категории

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru