Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Характеристика процесса обучения и его связь с учением
Обучение – это целенаправленное, заранее запроектированное общение, в ходе которого осуществляется образование, воспитание и развитие обучаемого, усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания. Двусторонний характер обучения – содержит всегда взаимосвязанные и взаим ...

Подготовка педагога дополнительного образования к владению воспитательными технологиями развития социальной активности
В ходе опытно-экспериментальной работы нами было апробировано следующее педагогическое средство воспитания социальной активности детей в учреждении дополнительного образования «Центр эстетического воспитания детей» - развитие подготовленности педагога дополнительного образования к владению воспитат ...

Классификация учебных проектов
Современная классификация учебных проектов сделана на основе доминирующей (преобладающей) деятельности учащихся: практико-ориентированный проект (от учебного пособия до пакета рекомендаций по восстановлению экономики страны, производства); исследовательский проект - исследование какой-либо проблемы ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru