Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Диагностика задержки психического развития
Родители большей частью обращаются к врачу или психологу, когда детям исполняется 7-9 лет, с проблемами школьной неуспеваемости и дезадаптации, с обострением прежних или возникновением новых нервно-психических расстройств. Однако диагностика ЗПР и выявление детей «группы риска» возможны гораздо ран ...

Определение навыков чтения
Одна из важнейших задач начальной школы - формирование у детей навыка чтения, являющегося фундаментом всего последующего образования. Сформированный навык чтения включает в себя как минимум два основных компонента: а) технику чтения (правильное и быстрое восприятие и озвучивание слов, основанное на ...

Развитие мышления детей старшего дошкольного возраста в процессе решения задач
Дошкольный возраст – период интенсивного развития личности ребенка, формирование первоначальных знаний и умений, период становление различных видов деятельности и развития посредствам их ребенка как субъекта деятельности. Именно в этот период дети наиболее интенсивно познают окружающий мир; заклады ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru