Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Сущность понятия «Индивидуализация обучения»
Индивидуализация обучения - это организация учебного процесса с учётом индивидуальных особенностей учащихся; что позволяет создать оптимальные условия для реализации потенциальных возможностей каждого ученика. Проблема учёта индивидуальных особенностей учащихся относится к традиционным для психолог ...

Понятие одаренности
Основное содержание одаренности составляют способности, от которых зависят затраты времени и усилий для достижения результата. Каждый ребенок имеет определенные способности к тому или иному виду деятельности или знаний. Способности могут иметь общий характер (вербальные, академические, креативные, ...

Психолого–педагогические особенности младшего дошкольного возраста
Младший дошкольный возраст характеризуется высокой интенсивностью физического и психического развития. Повышается активность ребенка, усиливается ее целенаправленность; более разнообразными и координированными становятся движения. С 3–4 лет происходят существенные изменения в характере и содержании ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru