Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Инновационные образовательные учреждения
Модернизация системы отечественного образования, определяющая интеллектуальный потенциал страны в будущем и являющаяся условием ее процветания и развития, требует от каждого образовательного учреждения поисков путей и механизмов постоянного обновления, повышения эффективности деятельности и улучшен ...

Особенности обучения одарённых детей
Многие думают, что ребёнок, опережающий сверстников по уровню интеллекта, не будет встречать трудностей в учебных занятиях - ему уготовано более счастливое детство. В действительности же детей с ранним умственным расцветом могут ожидать немалые сложности и дома, и в школе свои драмы в ходе возрастн ...

Качества, важные для успешного предпринимателя
Проанализируйте приведённые ниже качества с точки зрения того, насколько, по вашему мнению, они важны для успеха предпринимательской деятельности. 1 балл будет означать, что это качество относительно неважное. 2 - это качество более важное. 3 - это качество очень важное. № Качества успешного предпр ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru