Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
Если
и
- преобразования подобия с коэффициентами
и
, то
- преобразования подобия с коэффициентом
. Действительно
является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов
,
Выполняется равенство
. Обозначим
и
, тогда
,
. По основному свойству преобразования подобия
,
. Поэтому
и композиция
является преобразованием подобия.
Пусть
– преобразование подобия плоскости. Так как
изменяет всё расстояние в отношение
, то обратное к нему преобразование
изменяет все расстояния в отношении
.
Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом
.
Оба условия и
выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
Группа преобразований подобия первого рода;
Группа движений и все её подгруппы;
Группа гомотетий и параллельных переносов;
Группа гомотетий с одним и тем же центром.
Полезная информация:
Рекомендации социальному педагогу по организации профессионального
самоопределения старшеклассников общеобразовательной школы
Социальный педагог при работе с учениками должен учитывать их возрастные особенности. Социальному педагогу необходимо выделять и разграничивать два уровня работы по профессиональному самоопределению учащихся: деятельность в 9 и 11 классе. Социальный педагог должен как можно больше взаимодействовать ...
Жизненный и педагогический путь Ж.-Ж. Руссо
Выдающийся представитель эпохи Просвещения, философ и писатель, Жан-Жак Руссо (1712-1778) был одним из величайших педагогов всех времен и народов. Жан Жак Руссо родился в 1712 г. в Женеве (Швейцария) в семье французов. Его предками были крестьяне и ремесленники, а отец - часовых дел мастером. Он ра ...
Качества, важные для успешного предпринимателя
Тема «Предпринимательство» изучается в курсе « Экономика» в 10-м классе. В 6-м и 8-м классах при изучении темы «Факторы производства» предпринимательству, как одному из факторов, следует также уделить внимание, особенно предпринимательским качествам. Так как на проведение отдельного урока по теме « ...