Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Роль совместной деятельности в развитии личности ребенка
Основываясь на деятельностном подходе (А.Н. Леонтьев, Д.И. Фельдштейн, К. Поливанова, Д.Б. Эльконин и т.д.) и теории интериоризации Л.С. Выготского, мы выделяем в качестве основного средства формирования самостоятельного, произвольного поведения, а также способности к самоорганизации и самоконтролю ...

Причины минимальных дизартрических расстройств
Минимальные дизартрические расстройства возникают при двустороннем поражении двигательных корково-ядерных путей, идущих от коры головного мозга к ядрам черепных нервов ствола. Вследствие большой вариативности и комбинантности поражения двигательных проводящих путей черепно-мозговых нервов симптомат ...

Методические разработки уроков
В начале дадим некоторые общие рекомендации по методике преподавания данной темы. Метод проекций - тема особая. Она не имеет прямых аналогий в других предметах, изучаемых к тому времени восьмиклассниками. Учителю предстоит ввести учащихся почти в незнакомую им область знания, где с помощью вообража ...

Категории

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru