Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

Группа преобразований подобия первого рода;

Группа движений и все её подгруппы;

Группа гомотетий и параллельных переносов;

Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Полезная информация:

Индивидуальная работа с детьми с задержкой психического развития на занятиях кружка
Индивидуальная работа учащихся осуществляется по специальному плану учителя или воспитателя. По рекомендации воспитателя дети могут сами изготовлять поделки. Перед началом работы воспитатель проводит вводную беседу, рассказывая о целях и задачах предстоящего трудового задания. Дети в общих чертах п ...

Оценка эффективности системы довузовской подготовки
Семантической анализ понятия «качество» позволил определить его как совокупность характеристик объекта, относящуюся к его способности удовлетворять установленные или предполагаемые потребности. Следовательно, под «качеством образования» в обобщенном смысле понимается совокупность свойств образовани ...

Методика обследования произношения звуков
При обследовании звукопроизношения применяются задания, состоящие из произношения звука в различных фонетических условиях: изолированно, в слогах, в словах, во фразовой речи. Для проверки произношения звуков используются специально подобранные предметные и сюжетные картинки. В их названиях должны б ...

Категории

Copyright © 2023 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru