Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники » по учебнику Атанасяна Л.С

Тема подобные треугольники в учебнике Атанасяна Л.С. вводиться в 8 классе и включает в себя четыре параграфа, каждый из которых делиться на пункты.

§1. Определение подобных треугольников.

§2. Признаки подобия треугольников.

§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

§4. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В первом параграфе вводятся такие новые понятия как «пропорциональные отрезки», «сходственные стороны», «подобные треугольники», «коэффициент подобия».

Понятие пропорциональных отрезков вводиться описательно с использованием ранее изученного факта (об отношении двух отрезков), и рассматривается конкретный пример на применение нового определения. Далее оговаривается, что понятие пропорциональности может вводиться и для большого числа отрезков.

Прежде чем ввести определение подобных треугольников предлагается разобраться с подобием в реальной и повседневной жизни, и с подобием фигур в геометрии вообще. После этого используя рисунок двух треугольников и равенство углов описательно вводиться определение сходственных сторон. После словесной формулировки предлагается другая запись с использованием буквенной символики, таким образом, подобие треугольников даётся не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональности сходственных сторон. Пусть треугольники АВС и А1В1С1 подобны тогда (1); (2) из последнего отношения вытекает понятие коэффициента подобия.

Рассмотрев все основные понятия анализируемого параграфа, переходят к изучению следующей теоремы: «Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия», доказательство основано на применение теоремы об отношении площадей треугольника, имеющих по равному углу и определение подобных треугольников.

Во втором параграфе рассматриваются только признаки подобия треугольников с доказательством и отсутствуют новые понятия.

Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств определения подобных треугольников (1) или (2). Для доказательства этого факта рассматриваются три признака подобия треугольников. Первый признак доказывается, опираясь на теорему о сумме углов треугольника и на ранее изученную теорему об отношении площадей треугольников имеющих по одному равному углу. Второй и третий признак доказывается по общей схеме:

Рассматривается треугольник АВС2;

Доказывается, что треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны (по первому признаку);

Доказывается равенство треугольников АВС и АВС2.

В изложенном материале третьего параграфа рассматриваются новые понятия: «средняя линия треугольника», «среднее пропорциональное», «метод подобия», каждое из определений вводиться описательно.

Именно в этом параграфе доказывается теорема о средней линии треугольника и на основании этой теоремы решается очень важная задача геометрии: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины».

Для доказательства следующих утверждений

10 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит гипотенуза этой высоты;

20 Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла; решается задача: «Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику». Решение опирается на рассмотрение различных треугольников и доказательства их подобия.