Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений.
Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполне определённый элемент y множества Y.
Oобозначение.f: X
Y
Элемент y называется образом элемента x, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f.
y= f(x)
Определение. Отображение f: X Y называется
Инъективным (инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют два различных элемента множества Y.
Сюръективным (сюръекцией), если f(X) = Y, т. е. каждый элемент множества Y является образом, по крайней мере, одного элемента множества X.
Взаимно – однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременно сюръективным и инъективным.
Определение. Совокупность B всех элементов множества X, образами которых служат элементы множества B', являющегося подмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B' при отображении f.
Определение. Если f(X)X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя.
Определение. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно - обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f-1 множества Y на множество X.
Определение. Отображение множества X на множество Y называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствии один и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствии одному и только одному элементу множества X.
Таким образом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y.
каждому элементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y;
различным элементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y;
каждый элемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y.
Необходимый и достаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнение двух условий:
Каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве;
Каждый элемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве.
Определение. Пусть f и g – два преобразования множества X и для произвольного xX, f(х)=y, g(y)=z, причём y
X, z
X. Определим отображение
, являющееся преобразованием множества X. Преобразование
. Называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут
=g
f(
=g×f).
(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z
Определение. Два преобразования f1и f2 одного итого же множества X называются равными, совпадающими, если для любого xX имеет место f1(x)=f2(x).
Определение. Преобразование e множества X называется тождественным, если для любого xX, имеет место e(x)=x. Поэтому для любого преобразования f множества e
f=f
e=e.
Определение. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов
f (AB)=f(A)
f(B).
Определение. При любом преобразовании пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств
f (AB)=f(A)
f(B).
Полезная информация:
Сравнительный анализ учебников и задачников по алгебре для
7-9 классов с целью выявления основных тенденций в формировании исследовательских
умений школьников
Проанализируем различные учебники по алгебре с точки зрения выявления возможностей формирования и развития исследовательских умений, связанных с обучением решению параметрических уравнений и неравенств. Проанализировав учебники по алгебре таких авторов, как Ш.А. Алимов и другие, С.М. Никольский и д ...
Теоретические
основы развития исследовательских умений у младших школьников при изучении
москвоведения по картинам А.М.Васнецова на уроках окружающего мира
Обычно уроки москвоведения, посвященные изучению древней столицы строятся достаточно однообразно: преподаватель рассказывает о том, какой была Москва в древности, а затем предлагает учащимся ряд заданий и вопросов на закрепление и повторение знаний. На уроках окружающего мира развитие исследователь ...
Формирование коммуникативных умений учащихся на уроках грамматики
Умение и навык в психологии рассматриваются как действия в процессе решения тех или иных задач, в дидактике и лингводидактике - как этапы овладения новым способом действия. Умение представляет собой способность к сознательному действию в измененных или новых условиях, производимому на основе каких- ...