Логические методы познания

(*)

к устному вычислению суммы 7+(93+15), мы применяем (неявно) правило конкретизации: мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативности кванторы общности, подставляем вместо переменных х, у, z постоянные «7», «93» и «15» соответственно и получаем равенство 7 + (93 + 15) = (7 +93) +15, следующее из (*) по правилу конкретизации.

Как видно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.

Обобщение, абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальных методах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.

Если некоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще не изученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.

Для осуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типа используется обобщение и абстрагирование. Применение же результатов исследования к конкретной модели этого класса предполагает использование конкретизации.

Например, пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения 2x2 – 9х + 2 = 0, (1)

когда учащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.

Это является стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)

ax2 + bх + с = 0.(2)

Переход от конкретной модели (1) к классу моделей (2), то есть от единичного к общему, осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел, числовыми переменными.

После исследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любого уравнения этого класса) с помощью конкретизации (подстановки в формуле корней вместо а, b, с конкретных коэффициентов) решаем исходное и другие уравнения этого класса.

Процесс – абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природы изучаемых объектов, характера и целей их изучения. Поэтому естественно, что характеристические особенности абстрагирования в математике неизбежно должны находить некоторое отражение и в методах обучения математике.

Наиболее распространенные в математике виды абстракций – обобщающая абстракция (или абстракция отождествления), идеализация и различные абстракции осуществимости – используются и в школьном обучении математике. Однако методически формирование этих абстракций не разработано. Поэтому часто эти и другие математические абстракции вызывают серьезные затруднения, с ними связаны и многие допускаемые учащимися ошибки.

Основой абстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установлении отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.