Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Класс делится на две группы. Учащиеся самостоятельно решают предложенные им на карточках задания. Затем дается некоторое время, чтобы в группах обсудили решение и выбрали отвечающего по каждому заданию. Представитель первой группы отвечает, а представитель второй группы слушает ответ, задает вопросы, исправляет решение, если нужно. За каждый ответ группам начисляются баллы: если ответ полный, не требующий дополнений и пояснений, то группа получает 5 баллов; если у представителя второй группы есть дополнения и вопросы, но решение в целом верное и на все возникшие вопросы получен правильный ответ, то первая группа зарабатывает 3 балла, а вторая группа 2; если идея решения верная, но к ответу есть существенные дополнения и отвечающий не может ответить на вопросы противника, то команды получают соответственно по 1 баллу и 4 балла. Учитель контролирует выполнение заданий, выставляет баллы командам.

Проверка домашнего задания. Представитель одной группы объясняет решение задания 1, представитель второй – задания 2. Решение задания 3 записано учителем на доске, ученики проверяют свое решение.

Решение задач.

1. При каких значениях а уравнение имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2-ax+2=0

Удовлетворяет уравнению 1<x<3?

Решение:

Очевидно, D0, f(1)> 0, f(3)>0 эти условия лишь необходимы для выполнения требования задач. Мы получим достаточное условие, если добавим ещё одно неравенство 1<x0<3. Отсюда записываем систему

Решая систему, получим ответ:

3.Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет условию х<2.

Решение: Для D > 0 требование задачи выполняется очевидно, если число 2 находиться между корнями квадратного уравнения или совпадает с большим из них. Первый случай реализуется, если f(2) < 0, т.е. 2а + 1< 0, a< -.

Второй случай полностью описывается системой Легко убедиться, что система решений не имеет. Чтобы решение стало полным, необходимо рассмотреть случай, когда D = 0.

Имеем

Отсюда а = 0 или а = 4. Если а = 0, то уравнение имеет один двойной корень х = 3, что на подходит. Если а = 4, то получаем х = -1.

Ответ: a< - или а = 4.

4. Найти, при каких а неравенство справедливо для всех .

5. При каких а всякое решение неравенства х2- х – 2 < 0 больше любого решения неравенства ax2 – 4x – 1 ≥ 0?

Решение: Решив первое неравенство, получим . Рассмотрим второе неравенство. Если а = 0, то получим -4х – 1 ≥ 0, х ≤ Следовательно, а = 0 не подходит. Если a > 0, то решением неравенства будет или все множество действительных чисел (в случае, когда D ≤ 0), или объединение двух лучей ( - ; х1] и [x2; ∞) (в случае, когда D > 0, х1, х2- корни квадратного трехчлена f). Значит, а > 0 так же не подходит. Остается рассмотреть случай, когда а < 0. Тогда D ≥ 0 (если D < 0, неравенство решений не имеет). Отсюда решением неравенства будет отрезок [x1; x2] или точка х0, когда D = 0. Таким образом, искомое значение а найдем, решив систему