Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Образование и воспитание » Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7–9 классах » Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Страница 10

Занятие VI. Расположение корней квадратного уравнения

Цель: рассмотрение условий, определяющих расположение корней квадратного уравнения; закрепление имеющихся знаний.

Ход занятия:

Организационный момент. Сообщение плана и цели занятия.

Проверка домашнего задания. Задания, вызвавшие наибольшие затруднения, разбираются. Их решение объясняют ученики, которые справились с заданием.

Лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения»

Выражение вида ax2+ bx + c, где а ≠ 0, называется квадратным трехчленом. Он имеет два корня при D > 0, один корень (два равных) при D = 0 и не имеет корней при D < 0.

Пример 1.

Решим следующий пример: При каких значениях параметра а корни трехчлен (а – 2)х2 – 2ах +а + 3 положительны?

Решение: Используя теорему Виета, получим

Решая данную систему неравенств, получим . С учетом условия а ≤ 6 получаем . Рассмотрим второй способ решения данного примера.

Выделим контрольное значение параметра а = 2. Тогда уравнение примет вид -4х +5 = 0, откуда х = 5/4 > 0. Значит, х = 2 является одним из ответов на вопрос задачи.

Пусть а ≠ 2. Тогда перепишем уравнение в виде и рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Так как должно быть х1 > 0 и х2 > 0, то парабола пересекает ось х в двух точках правой полуплоскости (или касается этой оси в правой полуплоскости).

Теперь рассматриваемую модель опишем аналитически адекватной ей системой условий.

Так как точки пересечения (или точка касания) параболы с осью х, то D ≥ 0, т.е. 6 – а ≥ 0.

2. Замечаем, что f(0) > 0, т.е. .

3. Замечаем, что вершина параболы расположена в правой полуоси, т.е. абсцисса х0 положительна. По формуле нахождения вершины параболы х0 =

Итак, .

В результате приходим к системе неравенств . Она была решена нами ранее. Из приведенных способов решения последний является не только самым изящным. Безусловно, он проще, чем предыдущий. Данный способ более явно показывает взаимосвязь между всеми типами математических моделей (вербальная модель – словесное описание задачи, графическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание задачи системой неравенств), логичен и оправдан плавный переход от одной модели к другой. Развивая эту идею, предлагаем учащимся целый класс задач на принадлежность корней квадратного трехчлена заданному промежутку.

Остановимся подробнее на расположении корней квадратного трехчлена, для чего сформулируем несколько утверждений.

Утверждение 1. Для того чтобы квадратный трехчлен имел два корня, один из которых меньше α, другой больше α, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство.

Страницы: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Полезная информация:

Личностные качества в структуре субъекта педагогической деятельности
Как было отмечено в отечественной педагогической психоло­гии еще в конце XIX в. П.Ф. Каптеревым, одним из важных фак­торов успешности педагогической деятельности являются «лич­ностные качества» учителя. Отмечается обязательность таких ка­честв, как целеустремленность, настойчивость, трудолюбие, скр ...

Формирование представлений о сенсорных эталонах у детей дошкольного возраста
В дошкольных воспитательно-образовательных учреждениях решаются основные задачи в сенсорном воспитании детей. На первом году жизни это обогащение ребенка впечатлениями. Следует создать для малыша условия, чтобы он мог следить за движущимися яркими игрушками, хватать предметы разной формы и величины ...

Технология работы над сочинением как способ развития творческого воображения младших школьников
На основе выводов ученых М.Р. Львова, В.Г. Горецкого, Т.Г. Рамзаевой, Т.П. Сальниковой, Н.С. Черноусовой рассмотрим разработку и описание технологии работы над сочинением как способа развития творческого воображения младших школьников. Остановимся подробно на технологии работы над сочинением. Виды ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru