Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Образование и воспитание » Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7–9 классах » Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Страница 10

Занятие VI. Расположение корней квадратного уравнения

Цель: рассмотрение условий, определяющих расположение корней квадратного уравнения; закрепление имеющихся знаний.

Ход занятия:

Организационный момент. Сообщение плана и цели занятия.

Проверка домашнего задания. Задания, вызвавшие наибольшие затруднения, разбираются. Их решение объясняют ученики, которые справились с заданием.

Лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения»

Выражение вида ax2+ bx + c, где а ≠ 0, называется квадратным трехчленом. Он имеет два корня при D > 0, один корень (два равных) при D = 0 и не имеет корней при D < 0.

Пример 1.

Решим следующий пример: При каких значениях параметра а корни трехчлен (а – 2)х2 – 2ах +а + 3 положительны?

Решение: Используя теорему Виета, получим

Решая данную систему неравенств, получим . С учетом условия а ≤ 6 получаем . Рассмотрим второй способ решения данного примера.

Выделим контрольное значение параметра а = 2. Тогда уравнение примет вид -4х +5 = 0, откуда х = 5/4 > 0. Значит, х = 2 является одним из ответов на вопрос задачи.

Пусть а ≠ 2. Тогда перепишем уравнение в виде и рассмотрим квадратный трехчлен f(x) = Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Так как должно быть х1 > 0 и х2 > 0, то парабола пересекает ось х в двух точках правой полуплоскости (или касается этой оси в правой полуплоскости).

Теперь рассматриваемую модель опишем аналитически адекватной ей системой условий.

Так как точки пересечения (или точка касания) параболы с осью х, то D ≥ 0, т.е. 6 – а ≥ 0.

2. Замечаем, что f(0) > 0, т.е. .

3. Замечаем, что вершина параболы расположена в правой полуоси, т.е. абсцисса х0 положительна. По формуле нахождения вершины параболы х0 =

Итак, .

В результате приходим к системе неравенств . Она была решена нами ранее. Из приведенных способов решения последний является не только самым изящным. Безусловно, он проще, чем предыдущий. Данный способ более явно показывает взаимосвязь между всеми типами математических моделей (вербальная модель – словесное описание задачи, графическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание задачи системой неравенств), логичен и оправдан плавный переход от одной модели к другой. Развивая эту идею, предлагаем учащимся целый класс задач на принадлежность корней квадратного трехчлена заданному промежутку.

Остановимся подробнее на расположении корней квадратного трехчлена, для чего сформулируем несколько утверждений.

Утверждение 1. Для того чтобы квадратный трехчлен имел два корня, один из которых меньше α, другой больше α, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство.

Страницы: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Полезная информация:

Формирование мотивации на отдельных этапах урока
Какую бы деятельность ученики ни осуществляли, они должны иметь психологическую полную структуру – от понимания, и постановки школьниками целей и задач через выполнение действий, приемов, способов и до осуществления действий самоконтроля и самооценки. I. Этап вызывания исходной мотивации. На началь ...

Сохранение и забывание
Сохранение – это удержание заученного в памяти, т. е. сохранение следов и связей в мозгу. Забывание – исчезновение, выпадение из памяти, т. е. процесс угасания, ликвидации, «стирания» следов, затормаживание связей. Эти два процесса, противоположные по характеру, по сути дела представляют разные хар ...

Соотношение горизонтальных и вертикальных связей содержания образования
В рамках учебного плана содержание отдельных предметов не является обособленным. Оно должно быть связано в последовательные структуры, приведенные в соответствие друг с другом и вместе образующие сбалансированную образовательную программу. Для создания такой программы должны обеспечиваться связи ме ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru