Тематическое планирование уроков в 8 классе по теме «Центральные и вписанные углы»

Итак, пусть

. (1)

Из верности равенства (1) следует верность равенства

. (2)

Из равенства (2) и того, что углы АКС и DKB вертикальные, следует подобие треугольников АКС и DKB.

Из подобия треугольников АКС и DKB следует равенство соответствующих углов, т. е.

и . (3)

Углы 1 и 2, 3 и 4 действительно равны, поскольку они опираются соответственно на дугу AD и дугу ВС.

Процесс выведения следствий из доказываемого утверждения не привел ни к каким противоречиям. Этот результат еще раз подтверждает верность утверждения и указывает отправное действие в доказательстве теоремы, заключающееся в построении треугольников АКС и BKD (ВКС и AKD). Затем осуществляется переход к доказательству их подобия и выведение следствий, конечным из которых будет являться доказываемое утверждение.

В процессе работы с доказательством, как уже было отмечено, можно предлагать учащимся развернуть тот или иной силлогизм: выделить общее и частное положения, вывод, указать правило вывода. На этапе применения теоремы следует развивать видение ситуаций, удовлетворяющих теореме, ее конкретных приложений. Надо предложить учащимся рассмотреть случай, когда хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Этот случай является частным, а потому доказанная теорема справедлива для него. Доказанное равенство в этой ситуации (АВ — диаметр) имеет следующий вид: (легко доказать, что CK=KD). Учащиеся должны будут перевести полученный результат на язык новой ситуации и сформулировать доказанное утверждение. Такая работа имеет большое значение для математического воспитания школьников. Ее продолжением будет построение интерпретации доказанного факта, когда отрезок СК мыслится как высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника АСВ на гипотенузу АВ.

Развитие закономерности можно получить за счет использования обобщения, приводящего к рассмотрению ситуации, которую образуют прямые, содержащие хорды АВ и CD и пересекающиеся в некоторой точке, не принадлежащей кругу. Предельный случай ситуации возникает тогда, когда секущая становится касательной, и т. д.

Еще раз подчеркнем важность выделения идеи доказательства. В рассматриваемом случае в основе доказательства теоремы лежит идея подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов. Эта идея лежит также в основе доказательства теорем-обобщений, их частных случаев. Так, доказательство теоремы о произведении отрезков секущих, проведенных из одной точки к окружности, аналогично доказательству теоремы о произведении отрезков хорд окружности, пересекающихся в некоторой точке. Эта идея работает и при доказательстве утверждения о равенстве квадрата отрезка касательной и произведения отрезков секущей, имеющей с касательной общую точку, отличную от точки касания. Весь блок утверждений, доказательства которых опираются на идею подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов, должен быть выделен и сгруппирован вокруг стержневой мысли доказательства.

Итак, существуют разные способы введения теоремы. Она может быть открыта учащимися в процессе выполнения упражнений, различных измерений, построений, анализа явлений окружающей действительности. Она может быть сообщена и учителем, особенно в старших классах, сформулирована по аналогии и т. д. После ознакомления с теоремой желательно проверить ее справедливость на частных случаях, на моделях, постараться поискать контрпримеры, которые опровергали бы закономерность в определенных ситуациях. В случае наличия контрпримеров необходимо откорректировать условие теоремы, затем попробовать вывести из предположения о справедливости доказываемого утверждения заведомо ложное утверждение. Наличие такого факта отвергает справедливость доказываемого положения, а отсутствие подкрепляет предположение о его истинности.