Методические особенности изучения темы «Подобные треугольники»

Страница 2

§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения.

Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

, , , (1)

(2)

Обозначение. АВС~А1В1С1.

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

Первый признак подобия треугольников.

Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых , .

По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).

и .

Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~А1В1С1.

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.

Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2 (рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС2. Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2,, т. к. и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Полезная информация:

Современные тенденции развития образования
Цели, длительность, структура и содержание обучения психологии в значительной степени определяются национальными системами образования, историческими традициями, уровнем развития и статусом психологии как науки в конкретной стране, экономическими и политическими факторами. Один из ведущих исследова ...

Взаимосвязь режиссерских и сюжетно-ролевых игр
В психологической и педагогической литературе прошлых лет есть упоминания о режиссерских играх. Однако они не рассматривались в качестве самостоятельного вида игр, как это делается в настоящее время в работах Е.М. Гаспаровой, Е.Е. Кравцовой, С.Л. Новоселовой и др. В современной характеристике режис ...

Ознакомление со свойствами обрабатываемых материалов
На занятиях в мастерских учащиеся обрабатывают металлы, древесину и отчасти пластмассы. Знакомя учащихся с материалами и их свойствами, необходимо прежде всего показать их место и значение в различных отраслях народного хозяйства. Иногда у учащихся под влиянием научно-популярной литературы создаетс ...

Категории

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.oxoz.ru