Определение. Пусть имеются две прямоугольные декартовые системы координат Oij и O/i/j/, при этом |i/|=|j/|=k|i|=k|j|=k (k>0). Тогда преобразование плоскости, которое каждой точки М с координатами (x, y) относительно O/i/j/ ставит в соответствии точку М' с теми же координатами (x, y), но относительно Oij, называется преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k.
Из определения следует, что тождественное преобразование и движение являются преобразованиями подобия.
Основное свойство преобразования подобия.
Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M/N/|=k.
Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x1, y1), N(x2, y2). Тогда =
Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x1, y1), (x2, y2) относительно системы координат O/i/j/. Найдём:
= =
=
=
=
=
, так как
и
.
Свойства преобразования подобия.
Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую.
Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей
в полуплоскость с границей
где
.
Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.
Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”.
Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол.
Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.
Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.
Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.
Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.
Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O/i/j/, при этом и O/(x0,y0), то координаты любой точки M(x,y)Oij и её образа M/(x/,y/)O/i/j/ связаны соотношениями:
где
(1)
Полезная информация:
Анализ опытно-экспериментальной работы по внедрению компетентностного
подхода в обучение математике
Опытно-экспериментальная работа по внедрению компетентностного подхода была проведена в 5-б классе средней школы № 51 г. Кирова. Для эксперимента был взят общеобразовательный класс, со средней успеваемостью. Больше половины детей учится по математике на «4» и «5». На начальном этапе был проведен те ...
Информатизация общества и образования. Информационные системы в образовании
Современный период развития цивилизованного общества характеризует процесс информатизации. Информатизация общества — это глобальный социальный процесс, особенность которого состоит в том, что доминирующим видом деятельности в сфере общественного производства является сбор, накопление, продуцировани ...
Формирование перечня тестовых заданий. Тест как средство измерений знаний
Тест как средство измерения является результатом теоретического и экспериментального анализов. Теоретический анализ использует операциальные определения при оценке знаний, в качестве экспериментальных индикаторов которых выступают контрольные задания. Основываясь на системном подходе можно рассматр ...