Сравнительный анализ методики формирования понятия дроби в учебниках математики для 5–6 классов

Правило умножения обыкновенных дробей дается без каких-либо обоснований, авторы формулируют его как аксиому или как определение (при этом авторы никак не характеризуют это утверждение – ни как аксиому, ни как определение): «Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей:

».

Из этого правила выводится правило умножения натурального числа на дробь. Законы умножения формулируются позже, но в наборе заданий к этому пункту имеются задания как на умножение натурального числа на дробь, так и на умножение дроби на натуральное число. Здесь же вводятся понятия обратной дроби и взаимно обратных чисел. Справедливость переместительного и сочетательного законов умножения и распределительного закона для дробей обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.

При объяснении правила деления дробей авторы действуют так же, как и в случае разности дробей. Вначале вводится определение – что называют частным дробей: «Частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на делитель дает делимое». Затем дается формула, по которой можно найти частное дробей:

.

Эта формула обосновывается с опорой на определение частного. После этого дается словесная формулировка правила деления дроби на дробь.

Используя правило деления дроби на дробь и тот факт, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, авторы показывают, что обыкновенную дробь можно получить как частное от деления натуральных чисел, а черту дроби можно рассматривать как знак деления.

Только после этого выводится правило деления дроби на натуральное число – как частный случай деления на дробь.

Поскольку к этому моменту учащиеся знакомы и с умножением и с делением рациональных чисел, авторы имеют возможность обосновать правила отыскания части целого и целого по его части умножением или делением на дробь, соответствующую этой части.

Десятичные дроби изучаются в конце 6-го класса. К этому моменту все действия с обыкновенными дробями уже изучены и повторены. Понятие десятичной дроби и все операции над десятичными дробями сначала вводятся только для положительных чисел.

Понятие десятичной дроби вводится так же, как и в учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, с точки зрения позиционной записи натурального числа. Но здесь вся теория изложена автором, организация самостоятельной деятельности учащихся автором не предусматривается. Система упражнений содержит задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратные задания, причем некоторые задания сформулированы так: «Запишите в виде десятичной дроби по образцу: ». Справедливость поразрядного сложения и вычитания доказывается при помощи перевода в обыкновенную дробь.

Далее авторы рассматривают перенос запятой вправо у десятичной дроби и формулируют правило: «Чтобы десятичную дробь увеличить в 10, 100, 1000 и т.д. раз, т.е. умножить на 10, 100, 1000 и т.д., надо в записи дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, приписав при необходимости нули справа». На примере проверяется справедливость правила, если записать в виде обыкновенной дроби. Аналогичным образом сформулировано правило для переноса запятой влево.

Умножение десятичных дробей обосновывается изменением произведения в зависимости от изменения сомножителей. Так же на примере проверяется справедливость умножения «в столбик» по правилам умножения обыкновенных дробей.

Вычисление частного двух десятичных дробей связывается с вычислением частного двух равных им обыкновенных дробей. После чего на примерах иллюстрируется правило деления десятичных дробей «уголком».

Основные достоинства учебника: изучение алгоритмов действий с обыкновенными и десятичными дробями осуществляется последовательно и систематично. Необходимость введения понятия дроби связывается с жизненными потребностями. Хорошо показываются взаимосвязи между различными понятиями. Различные понятия и их свойства в учебнике рассматриваются достаточно строго, что характерно для математической науки.