Сравнительный анализ методики формирования понятия дроби в учебниках математики для 5–6 классов

«Арифметика» С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.

Все действия с обыкновенными дробями в учебниках этого авторского коллектива изучаются в 5 классе. Этому в учебнике посвящена глава «Обыкновенные дроби», ей предшествует тема «Делимость натуральных чисел».

При введении понятия дроби рассматриваются задачи, решая которые приходится целое делить на несколько равных частей. Понятие дроби вводится как одна или несколько равных долей целого. Здесь же вводится термин «рациональное число». Наглядные геометрические модели автор практически не использует, а использует известные учащимся единицы измерения веса, длины, времени, в том числе квадратные и кубические единицы измерения длины.

Деление отрезка, длина которого равна единице, последовательно на 2, 4, 8 частей, приводит к основному свойству дроби, которое формулируется как в словесной, так и в буквенной форме. Здесь же авторы вводят операцию сокращения дробей, при этом оговаривается, что при сокращении дроби можно находить наибольший общий делитель числителя и знаменателя, при этом задания формулируются несколькими способами: «сократите дробь», «укажите все общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, сократите дробь», «определите, сократима ли дробь». Задания последнего типа формируют связь между изученными алгоритмом нахождения НОД чисел и операцией сокращения дроби. Кроме того, авторы уделяют внимание представлению натурального числа в виде дроби.

Далее рассматриваются задачи на нахождение части числа и числа по его части. Эти задачи решаются в два приема:

1) отыскание величины, которая приходится на одну долю;

2) отыскание величины, которую надо найти в соответствии с вопросом (требованием) задачи.

На конкретных примерах демонстрируется, как дроби с разными знаменателями можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Авторы уточняют, что при приведении дробей к общему знаменателю лучше всего приводить их к наименьшему общему знаменателю. На примере двух дробей рассматриваются задания, направленные на формирование навыков приведения дробей к заданному знаменателю, к знаменателю, равному произведению знаменателей и к наименьшему общему знаменателю.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями иллюстрируется с помощью рисунка. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями формируется на наглядно-интуитивной основе. Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями в теоретической части параграфа не рассматривается, но такие задания есть. Более того, авторы предлагают задания на сравнение с единицей (№815), половиной (№816) и дополнений до единицы (№817). Но эти задания отмечены как задания повышенной трудности.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями вводится на наглядно-интуитивной основе – сложение частей отрезка длины. Наряду со словесной формулировкой правила дается его буквенная формулировка в виде равенства:

.

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю. Правило дается как в словесной, так и в буквенной формулировке:

.

Справедливость законов сложения для положительных рациональных чисел обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.

Тема вычитания дробей начинается с определения разности двух дробей: «Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое». Авторы оговаривают то, что пока будет рассматриваться только случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Но авторы уточняют, что в дальнейшем будут введены отрицательные дроби, которые позволят находить разность любых дробей.

Далее авторы формулируют утверждение: «Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого:

»,

доказательство этого утверждения основывается на определении разности.